Wilson-Intervall: Unsicherheit eines Anteils berichten

1. Den Anteil als Zähler und Nenner festhalten

Du berichtest, wie viele Personen einer definierten Gruppe eine Ja-Nein-Bedingung erfüllen. Bewahre neben dem Prozentwert immer die tatsächliche Zahl der Erfolge k und die Zahl geeigneter Versuche oder Einheiten n. Lege fest, was als Erfolg zählt, auf welchen Zeitpunkt sich die Angabe bezieht und wie fehlende Antworten behandelt werden. Ein Nenner aller eingeladenen Personen ist nicht automatisch derselbe wie der Nenner aller gültigen Antworten. Diese Entscheidung beeinflusst die Bedeutung der Zahl schon vor jeder Intervallberechnung.

Der hier behandelte einfache Ansatz setzt ein geeignetes Binomialmodell voraus, insbesondere unabhängige Versuche mit einer gemeinsamen Erfolgswahrscheinlichkeit. Mehrfachantworten, wiederholte Messungen derselben Person oder komplex gewichtete Befragungen sind nicht allein durch das Einsetzen eines Prozentwerts abgedeckt. Schreibe auf einer Kennwertkarte neben Zähler und Nenner auch Auswahl, Einheit und offene Designfragen auf. So kann eine andere Person prüfen, welche Fälle die Berechnung überhaupt beschreibt. Ein rechnerisch gültiges Intervall beseitigt keine Auswahlverzerrung und ergänzt keine fehlende Dokumentation der Erhebung.

2. Wilson und die einfache Wald-Näherung unterscheiden

Die bekannte einfache Näherung nimmt den beobachteten Anteil und addiert beziehungsweise subtrahiert ein Vielfaches seines geschätzten Standardfehlers. Dieses Wald-Intervall kann bei kleinen Fallzahlen oder Anteilen nahe null beziehungsweise eins problematische Grenzen liefern. Der NIST-Leitfaden beschreibt das Wilson-Verfahren als Umkehrung eines Score-Tests und erläutert seine von dieser einfachen Formel verschiedenen Grenzen. Beide Verfahren sind deshalb nicht bloß zwei Namen für denselben Zahlenbereich. Die Intervallmethode gehört zur Ergebnisangabe und sollte nicht aus einem namenlosen Softwaredialog geraten werden.

Im Wilson-Intervall ohne Kontinuitätskorrektur verändern sich Mittelpunkt und Halbbreite gegenüber der einfachen Wald-Formel. Die Grenzen bleiben im zulässigen Bereich für eine Wahrscheinlichkeit. Das macht den Ansatz nicht voraussetzungsfrei und nicht identisch mit einem exakten Binomialintervall. Wähle Methode, Konfidenzniveau und einseitige oder zweiseitige Fragestellung passend zum Analyseplan. Vergleiche bei verschiedenen Programmen zuerst dieselben Einstellungen, bevor du kleine Zahlenabweichungen als Rechenfehler deutest. Eine größere Zahl angezeigter Nachkommastellen ersetzt dabei keine passend gewählte Methode.

Weiterführend: NIST/SEMATECH: Konfidenzintervalle für binomiale Anteilswerte und Wilson-Formel

3. Ein eigenes kleines Beispiel mit Randfall prüfen

Unser erfundenes Lernbeispiel enthält zwei Erfolge unter zwanzig unabhängigen geeigneten Einheiten. Der beobachtete Anteil beträgt 2 geteilt durch 20 gleich 0,10. Für das zweiseitige 95-Prozent-Wilson-Intervall ohne Kontinuitätskorrektur setzen wir als Übungswert z gleich 1,96 ein. Der gemeinsame Nenner lautet 1 plus z zum Quadrat geteilt durch n, also 1,19208. Der Mittelpunkt ergibt sich aus (0,10 plus z zum Quadrat geteilt durch 40) geteilt durch diesen Nenner, gerundet 0,16445. Er liegt folglich nicht genau beim beobachteten Anteil.

Die zugehörige Halbbreite beträgt rund 0,13659. Damit ergeben sich Grenzen von ungefähr 0,0279 bis 0,3010, also 2,8 bis 30,1 Prozent. Es handelt sich um eine mit der dokumentierten Formel nachgerechnete Lehrrechnung, nicht um eine Programmausgabe oder Studie. Prüfe zusätzlich den künstlichen Randfall null Erfolge unter zwanzig Versuchen: Die einfache Wald-Halbbreite wäre null. Die entsprechende Wilson-Obergrenze liegt hier bei rund 16,1 Prozent. Null beobachtete Ereignisse sind deshalb kein allgemeiner Nachweis, dass ein Ereignis unmöglich wäre.

Die SciPy-Dokumentation trennt exact, wilson und wilsoncc ausdrücklich; der Standard von proportion_ci ist exact. In R prop.test ist eine mögliche Kontinuitätskorrektur ebenfalls eigens dokumentiert. Schreibe deshalb beim Gegenprüfen den tatsächlich gewählten Methodenwert und die Korrekturoption ab. Ein Vergleich der Übungsformel mit einem anders eingestellten Standarddialog ist noch kein sinnvoller Übereinstimmungstest. Bewahre Zähler, Nenner, Konfidenzniveau und vollständige Einstellungen gemeinsam auf; für die zwei Lernrechnungen sind keine Installationen oder kostenpflichtigen Dienste nötig.

Weiterführend: SciPy: proportion_ci, exact, wilson und wilsoncc

Weiterführend: R Core: prop.test, Score-Intervall und Kontinuitätskorrektur

4. Zahlenbereich und Reichweite gemeinsam berichten

Ein brauchbarer Bericht verbindet k von n, den beobachteten Prozentwert, Intervallgrenzen, Konfidenzniveau und Methode. Erkläre außerdem, welche Zielgruppe und welche Auswahl der Nenner tatsächlich erfasst. Das frequentistische Intervall ist kein aus diesen Daten abgeleiteter 95-Prozent-Wahrscheinlichkeitsbereich eines nun zufälligen festen Parameters. Seine Einordnung betrifft das Verfahren bei wiederholter Stichprobenziehung unter den Annahmen. Für die praktische Aussage bleibt ebenso wichtig, ob die betrachteten Einheiten und ihr Auswahlweg zur Forschungsfrage passen.

Im Statistik-Testfinder beschreibst du die binäre Zielgröße, den einzelnen Anteil, Stichprobenumfang und mögliche Abhängigkeiten. Übernimm eine Verfahrensempfehlung nur mit begründetem Nenner und geprüftem Modell. Diese Analyseplanung berechnet kein Wilson-Intervall und bescheinigt keine Repräsentativität. Den Zahlenbereich bestimmst du in geeigneter vorhandener Statistiksoftware und vergleichst ihn mit einer dokumentierten Kontrollrechnung. Bei Gewichten, Clustern oder einem Vergleich verbundener Anteile brauchst du eine gesonderte Lösung; die einfache Ein-Anteil-Formel sollte dafür nicht unbemerkt als Ersatz verwendet werden.